16.10.2025 ✅Пройдено
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел или числовых значений следующего вида:
A = ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n ⁝ ⁝ ⋱ ⁝ a m 1 a m 2 . . . a m n ) A = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 a 2 1 ⁝ a m 1 a 1 2 a 2 2 ⁝ a m 2 . . . . . . ⋱ . . . a 1 n a 2 n ⁝ a m n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞
Заглавными буквами обозначаются матрицы: (A A B B C C
Строчная буква обозначает элемент матрицы: (a 11 a 1 1 a 12 a 1 2 a m n a m n
Пары цыфр, записанных нижним индексом обозначают индексы элементов, первая цифра i i j j
Матрицы всегда записываются следующим образом:
A = ( a i j ) A = ( a i j )
Размером матрицы называется произведение числа строк матрицы на число столбцов. То есть, если в матрице 3 строки и 4 столбца, то размер такой матрицы записывается как 3 3 4 4 12 1 2
Даны матрицы A A B B
A = ( 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 ) B = ( 5 8 3 2 7 0 9 1 4 ) A = ⎝ ⎛ 1 2 3 2 4 6 3 6 9 4 8 1 2 5 1 0 1 5 ⎠ ⎞ B = ⎝ ⎛ 5 2 9 8 7 1 3 0 4 ⎠ ⎞
В данном случаи размер матрицы A A 3 3 5 5 B B 3 3 3 3
Элементы матрицы a i j a i j
Целые: \mathbb{Z} = \
Действительные: \mathbb
Комплексные: C = { a + b i ∣ a , b ∈ R } C = { a + b i ∣ a , b ∈ R }
Рациональные: Q = { p / q ∣ p , q ∈ Z , q ≠ 0 } Q = { p / q ∣ p , q ∈ Z , q = 0 }
Главное условие — все элементы одной матрицы принадлежат одному множеству.
Примеры:
A = ( 1 − 3 5 0 4 2 ) , B = ( 2 π − 1.5 0.7 ) , C = ( 2 + i − 3 i 1 − 2 i 4 ) A = ( 1 0 − 3 4 5 2 ) , B = ( 2 − 1 . 5 π 0 . 7 ) , C = ( 2 + i 1 − 2 i − 3 i 4 )
Элементы матрицы могут быть не только числами, но и выражениями, содержащими переменные:
A = ( x + 5 y − 3 z + 2 2 x − y 4 z x − y y + z z − x ) A = ⎝ ⎛ x + 5 2 x x − y y − 3 − y y + z z + 2 4 z z − x ⎠ ⎞
Здесь каждая ячейка матрицы содержит алгебраическое выражение , а не конкретное число.символьными (или параметрическими ),x x y y z z
Квадратной называется матрица, у которой число строк и столбцов равны, то есть m = n m = n A n A n A m n A m n m m n n
Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается как O O
Пример такой матрицы:
O m n = ( 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ⁝ ⁝ ⋱ ⁝ 0 0 . . . 0 ) O m n = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 0 0 0 ⁝ 0 0 0 0 ⁝ 0 . . . . . . . . . ⋱ . . . 0 0 0 ⁝ 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞
Если матрица квадратная, используют обозначение O n O n
Главная диагональ — это элементы квадратной матрицы, у которых совпадают номера строки и столбца:
a 11 , a 22 , a 33 , … , a n n . a 1 1 , a 2 2 , a 3 3 , … , a n n .
Например, для матрицы:
A = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) A = ⎝ ⎛ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ⎠ ⎞
главная диагональ состоит из элементов:
1 , 5 , 9. 1 , 5 , 9 .
Сумма элементов главной диагонали называется следом матрицы :
t r ( A ) = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n . t r ( A ) = a 1 1 + a 2 2 + ⋯ + a n n .
t r ( A ) = ∑ i = 1 n a i i t r ( A ) = i = 1 ∑ n a i i
Пример:
A = ( 2 1 4 0 3 5 1 2 6 ) , t r ( A ) = 2 + 3 + 6 = 11. A = ⎝ ⎛ 2 0 1 1 3 2 4 5 6 ⎠ ⎞ , t r ( A ) = 2 + 3 + 6 = 1 1 .
Свойства следа матрицы:
След вычисляется только для квадратных матриц .
Не меняется при транспонировании: t r ( A T ) = t r ( A ) t r ( A T ) = t r ( A )
Для произведения коммутирующих матриц справедливо: t r ( A B ) = t r ( B A ) t r ( A B ) = t r ( B A )
Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю:
a i j = 0 при i ≠ j . a i j = 0 при i = j .
Пример:
D = ( 4 0 0 0 − 2 0 0 0 7 ) D = ⎝ ⎛ 4 0 0 0 − 2 0 0 0 7 ⎠ ⎞
Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице.
E n = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) E n = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞
Матрицы A A B B
Имеют одинаковые размеры;
Их соответствующие элементы равны.
a i j = b i j для всех i , j . a i j = b i j для всех i , j .
Пример:
A = ( 2 4 6 1 3 5 ) , B = ( 2 4 6 1 3 5 ) , A = B . A = ( 2 1 4 3 6 5 ) , B = ( 2 1 4 3 6 5 ) , A = B .
Если хотя бы один элемент отличается или размеры не совпадают, матрицы считаются неравными .
Две матрицы равны, если их соответствующие элементы совпадают численно при некоторых значениях переменных.
Пример:
A = ( x + 1 2 y − 3 3 x − 2 y + 4 ) , B = ( 5 4 y − 11 13 7 ) A = ( x + 1 3 x − 2 2 y − 3 y + 4 ) , B = ( 5 1 3 4 y − 1 1 7 )
Условия равенства (покомпонентно):
x + 1 = 5 , 2 y − 3 = 4 y − 11 , 3 x − 2 = 13 , y + 4 = 7. x + 1 2 y − 3 3 x − 2 y + 4 = 5 , = 4 y − 1 1 , = 1 3 , = 7 .
Решение системы:
x = 4 , 2 y − 3 = 4 y − 11 ⇒ 2 y = 8 ⇒ y = 4. x 2 y − 3 = 4 , = 4 y − 1 1 ⇒ 2 y = 8 ⇒ y = 4 .
Проверка:
A ∣ x = 4 , y = 4 = ( 5 5 10 8 ) , B ∣ x = 4 , y = 4 = ( 5 5 10 8 ) . A ∣ ∣ ∣ x = 4 , y = 4 = ( 5 1 0 5 8 ) , B ∣ ∣ ∣ x = 4 , y = 4 = ( 5 1 0 5 8 ) .
Итог: при x = 4 x = 4 y = 4 y = 4 A = B A = B
Суммой двух матриц одинакового порядка называется матрица C = A + B C = A + B
c i j = a i j + b i j , i = 1 , … , m ; j = 1 , … , n . c i j = a i j + b i j , i = 1 , … , m ; j = 1 , … , n .
Сумма матриц A A B B покомпонентно ,c i j c i j
C = A + B , c i j = a i j + b i j . C = A + B , c i j = a i j + b i j .
Пример:
A = ( 1 2 3 4 5 6 ) , B = ( 7 8 9 1 2 3 ) A = ( 1 4 2 5 3 6 ) , B = ( 7 1 8 2 9 3 )
A + B = ( 1 + 7 2 + 8 3 + 9 4 + 1 5 + 2 6 + 3 ) = ( 8 10 12 5 7 9 ) A + B = ( 1 + 7 4 + 1 2 + 8 5 + 2 3 + 9 6 + 3 ) = ( 8 5 1 0 7 1 2 9 )
Произведением матрицы A A α α B = α A B = α A
b i j = α a i j , i = 1 , … , m ; j = 1 , … , n . b i j = α a i j , i = 1 , … , m ; j = 1 , … , n .
Пример:
A = ( 2 3 4 5 ) , α = 2 A = ( 2 4 3 5 ) , α = 2
2 A = ( 4 6 8 10 ) 2 A = ( 4 8 6 1 0 )
Свойства:
A + B = B + A A + B = B + A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) α ( A + B ) = α A + α B α ( A + B ) = α A + α B ( α + β ) A = α A + β A ( α + β ) A = α A + β A ( α β ) A = α ( β A ) ( α β ) A = α ( β A ) A + O = A A + O = A O O 0 A = O 0 A = O
Произведением матрицы A A B B C = A B C = A B
c i j = ∑ k = 1 n a i k b k j . c i j = k = 1 ∑ n a i k b k j .
Замечание: A B A B A A B B
Пример 1:
A = ( 1 2 3 4 5 6 ) , B = ( 1 2 3 4 5 6 ) A = ( 1 4 2 5 3 6 ) , B = ⎝ ⎛ 1 3 5 2 4 6 ⎠ ⎞
A B = ( 22 28 49 64 ) A B = ( 2 2 4 9 2 8 6 4 )
Произведение B A B A
Пример 2: показать зависимость результата от порядка.
A = ( 1 2 0 1 ) , B = ( 2 0 3 1 ) A = ( 1 0 2 1 ) , B = ( 2 3 0 1 )
A B = ( 8 2 3 1 ) , B A = ( 2 4 3 7 ) A B = ( 8 3 2 1 ) , B A = ( 2 3 4 7 )
Из результата видно, что A B ≠ B A A B = B A
Вычислить ( 2 A − B ) ( A + 3 B ) ( 2 A − B ) ( A + 3 B )
A = ( 1 2 0 1 ) , B = ( 0 1 2 3 ) A = ( 1 0 2 1 ) , B = ( 0 2 1 3 )
2 A − B = ( 2 3 − 2 − 1 ) , A + 3 B = ( 1 5 6 10 ) 2 A − B = ( 2 − 2 3 − 1 ) , A + 3 B = ( 1 6 5 1 0 )
( 2 A − B ) ( A + 3 B ) = ( 20 40 − 8 − 20 ) ( 2 A − B ) ( A + 3 B ) = ( 2 0 − 8 4 0 − 2 0 )
Если B B A B A B
Пример:
A = ( 1 2 3 4 5 6 ) , B = ( 1 2 3 ) A = ( 1 4 2 5 3 6 ) , B = ⎝ ⎛ 1 2 3 ⎠ ⎞
A B = ( 14 32 ) A B = ( 1 4 3 2 )
Результат — вектор-столбец высоты 2.
Если A A
A n = A ⋅ A ⋅ ⋯ ⋅ A ( n раз ) A n = A ⋅ A ⋅ ⋯ ⋅ A ( n раз )
Пример:
A = ( 1 1 0 1 ) , A 3 = ( 1 3 0 1 ) A = ( 1 0 1 1 ) , A 3 = ( 1 0 3 1 )
A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C A ( B + C ) = A B + A C A ( B + C ) = A B + A C ( A + B ) C = A C + B C ( A + B ) C = A C + B C α ( A B ) = ( α A ) B = A ( α B ) α ( A B ) = ( α A ) B = A ( α B ) A I = I A = A A I = I A = A A O = O A = O A O = O A = O
Транспонирование — это операция замены строк матрицы на её столбцы:
A T = ( a j i ) A T = ( a j i )
Пример:
A = ( 1 2 3 4 5 6 ) , A T = ( 1 4 2 5 3 6 ) A = ( 1 4 2 5 3 6 ) , A T = ⎝ ⎛ 1 2 3 4 5 6 ⎠ ⎞
Квадратная матрица называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной:
A T = A . A T = A .
Пример:
A = ( 2 5 7 5 3 1 7 1 4 ) A = ⎝ ⎛ 2 5 7 5 3 1 7 1 4 ⎠ ⎞
Определение матрицы.
Операции над матрицами.
Виды матриц.
Свойства матриц.
Транспонированная матрица.